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§18.当我们现在转而考虑算术的原初对象时，我们把3、4等等这些个别的数与数这个普遍概念区别开。现在我们已经决定同意这样的观点：最好以莱布尼兹、密尔、H.格拉斯曼和其他一些人的方式从一和加一得出个别的数，但是只要还没有解释一和加一，这些解释就还是不完整的。我们已经看到，人们需要普遍的句子，以便从这些定义推导出数公式。这样的规律恰恰由于其普遍性而不能从个别数的定义得出，而只能从数这个普遍概念得出。现在我们更精确地考虑这个概念。这里大概还必须讨论一和加一，因此还必须期待着补充对个别的数的定义。
§19.这里我要立即反对这样一种企图，即在几何学中把数理解为长度或平面的关系数。人们显然相信，通过一开始就确立算术和几何学的最密切的联系，有助于把算术应用于几何学。
牛顿[1]认为，把数与其理解为一个单位集，不如理解为每一个量与另一个被看作单位的同类量之间的抽象关系。可以承认，这样就恰当地描述了广义的数，甚至也可以包括分数和无理数；但是在这种情况下就预先假设了量和量的关系的概念。由此看来，对狭义的数的解释，即对数的解释就不是多余的；因为欧几里得为了定义两个长度关系的相等，需要使用等倍这个概念；而等倍又回到数的相等。但是可能有这种情况：可以独立于数概念来定义长度关系的相等。然而在这种情况下，人们依然不清楚以这种几何学方式定义的数与日常生活中的数会是什么关系。后者与科学是完全脱离的。然而也许人们能够要求算术必须为数的每次应用提供出发点，即使这种应用本身不是算术的事情。甚至在日常计算中也一定会发现算术方法的科学根据。而且，如果人们考虑一个方程式的根这个数、素数和比素数更小的数以及类似情况，那么就会产生一个问题：算术本身以一个几何学的数概念够不够用。而对“多少”这个问题作出回答的数也能够确定一个长度包含多少单位。带有负数、分数、无理数的计算也能化归为带有自然数的计算。但是在数被定义为量的关系时，牛顿也许愿意把量不仅理解为几何学的量，而且理解为集合。然而在这种情况下，这种解释对于我们的目的是不适用的，因为在“借以确定一个集合的数”和“一个集合和集合单位的关系”这两个表达中，后一个并没有提供比前一个更多的信息。
§20.因此，第一个问题将是：数是否可以定义。汉克尔[2]持反对意见，他说：“把一个实物考虑或放置1次、2次、3次……是什么意思，这是不能定义的，因为放置这一概念原则上很简单。”然而这里重要的是1次、2次、3次，而放置则不太重要。如果这可以定义，放置的不可定义性就不会令我们担心。莱布尼兹倾向于把数至少接近于看作是适当的理念，即看作是这样一个理念；它十分清晰，因而其中出现的所有东西也是清晰的。
如果总的来说人们更倾向于认为数是不可定义的，那么原因与其说在于从事物的存在本身得出相反的理由，不如说在于定义尝试的失败。
[1]鲍曼：《论时间、空间和数学》，第1卷，第475页。
《复数系统理论》（Theorie der complexen Zahlensysteme）。
数是外在事物的性质吗？
§21.让我们尝试至少在我们的概念中为数指定一个位置!在语言中，数一般总以与硬的、重的、红的这些指外在事物性质的词相似的形容词形式或在相似的定语联系中出现。人们自然会问，是不是对个别的数也必须这样理解，是不是因此也能够把数这个概念与譬如颜色这个概念排列在一起。
这似乎是康托尔（M. Cantor）的看法 [1] ，他称数学是一门经验科学，因为数学最初是考虑外在世界的事物。只是通过从对象的抽象，才形成了数。
施罗德认为，由于可以通过一来摹写单位，因此就可以按照现实构造数，从现实得出数。他把这称为数的抽象。在这种摹写过程中，描述单位只着眼于其频繁性，而不考虑对事物所有其他性质的规定，譬如颜色、形状。这里频繁性只是数的另一个表达。因此施罗德把频繁性或数与颜色和形状并列起来，把它看作事物的一种性质。
§22.鲍曼 [2] 拒绝数是从外在事物得出的概念这种思想，“这是因为外在事物不向我们表现出任何严格的单位；它们向我们表现出一些分离的群或可感觉的点，但是我们可以任意把这些群或点本身又看作许多东西。”实际上，虽然我以纯粹的理解方式不能丝毫改变一事物的颜色或硬度，我却能够把伊利亚特理解为一首诗，理解为24章或理解为许多行诗。谈论一棵树有1000片叶子与谈论一棵树有绿叶子难道含义不是完全不同的吗？我们赋予每片叶子绿色，而不是赋予每片叶子1000这个数。我们可以把这棵树的所有叶子都概括到它的树叶的名下。即使这树叶是绿的，1000也不是绿的。那么1000这种性质究竟属于谁呢？看上去，这几乎既不属于个别的叶子，也不属于叶子整体；也许它实际上根本就不属于外界事物？如果我给某个人一块石头并说：确定它的重量，那么我以此就把他要研究的全部对象给予他了。但是如果我把一叠牌放到他手里并说：确定它们的数，那么他就不知道，我想知道的是这些牌的张数，还是一副完整的牌的数，还是譬如玩斯卡特的牌点数。我把这叠牌放到他手里，以此还没有把他研究的对象全给他；我必须补充一个词：张、副或牌点。人们也不能说，这里不同的数就像不同的颜色一样并列存在。我可以指着一个个别的有颜色的平面而不说一句话，却不能这样指着个别的数。如果我能够有同样的理由称一个对象为绿的和红的，这就标志着，这个对象不是绿色的真正的承载者。只有在纯绿色的平面上，我才有这个对象。因此，一个我能够有同样理由赋予不同数的对象也不是数的真正的承载者。
因此，颜色和数之间的一种本质区别在于，一个平面上的蓝颜色不依赖于我们的任意理解。它是一种反射某种光线，或多或少吸收其他一些光线的能力，我们的理解丝毫无法改变它。相反，我不能说，1或100或其他任何一个数本身属于这叠牌，至多只能说，它们根据我们任意的理解方式属于这叠牌；这样我也就不能说，我们可以简单地将数作为谓词赋予它。我们要称为完整一副牌的，显然是一种任意的规定，这叠牌与此无关。但是当我们由此出发考察这叠牌时，我们也许发现，我们可以称它为两副完整的牌。谁若是不知道什么叫作一副完整的牌，谁大概就会从这叠牌发现任何一个别的数，却恰恰不是二。
§23.对于数作为性质属于谁这个问题，密尔是这样回答的 [3] ：
“一个数的名字表示一种性质，这种性质属于我们用这个名字称谓的事物的聚集；而且这种性质是这种能够形成聚集或分解为部分的独特方式。”
在这段话中，首先“这种……独特方式”（die charakteristische Weise）这个表达式中的定冠词是错误的；因为分解一种聚集可以有极其不同的方式，人们不能说仅一种方式就会是独特的。例如，一捆稻草可以这样分解————把每一根稻草切断，或这样分解————分成一根根稻草，或这样分解————分成两捆稻草。那么一堆一百粒的沙子是像一捆100根的稻草那样构成的吗？然而人们这里仍然有相同的数。在“一捆稻草”这个表达中，数词“一”确实没有表达出稻草是如何由细胞或由分子构成的。0这个数还要造成更大的困难。难道必须由一根根稻草形成一捆之后才能够数一数吗？难道必须使全德国的盲人聚集在一起“德国盲人数”这个表达才有意义吗？一千颗麦粒在播种下之后就不再是一千颗麦粒了吗？确实有定理的证明的聚集或事件的聚集吗？然而这些也是可以数的。在这里，这些事件是同时发生的还是相隔了一千年，都是无关紧要的。
§24.这样我们就达到另一种不把数与颜色和强度并列在一起的理由：数适用于更大的范围。
密尔 [4] 认为，由部分构成的东西，是由这些部分的部分构成的，这个真命题对所有自然现象都是有效的，因为所有自然现象都是可数的。但是难道不能有更多可数的吗？洛克 [5] 说：“数适用于人、天使、行为、思想————一切确实存在或能够被想象的东西。”莱布尼兹 [6] 拒斥了经院哲学家关于数不适用于非物质东西的看法，称数在一定程度上是一种非物质形象，这种形象是由任何一些种类东西统一形成的，这些东西总共为四，如上帝、天使、人、运动。因此他认为，数是十分普遍的东西并且属于形而上学。在另一处 [7] 他说：“没有力量和能力的，不会得到重视；没有部分的，也就没有质量；但是没有任何不容纳数的东西。因此数仿佛是一种形而上学形象。”
如果一种从外在的东西抽象出来的性质能够转变为事件、表象、概念，而不发生意义变化，这实际上是不可思议的，就好像人们想谈论一个可融解的事件，一种蓝色表象，一个咸概念，一个坚韧的判断一样。
在没有感觉的东西身上出现按其本性是有感觉的东西，这是荒唐的事情。当我们看到一块蓝色平面时，我们有一种相应于“蓝色的”这个词的独特印象；而当另一块蓝色平面映入我们眼帘时，我们重新认出这种印象。如果我们要假定，在看到一个三角形时，某种有感觉的东西会以同样的方式相应于“三”这个词，那么我们必然会在三个概念上也重新发现这种情况；在某种没有感觉的东西身上就会有某种有感觉的东西。也许可以承认，相应于“三角形的”这个词有一种可感觉的印象，但是这里必须把这个词看作一个整体。其中的三，我们不是直接看到的；相反，我们看到某种能够与精神活动联系在一起的东西，这种精神活动导致一个其中出现了这个数的判断。那么我们凭什么感觉譬如亚里士多德建立的三段论的格的数呢？譬如以眼睛吗？我们至多看到表达这些三段论的格的符号，而没看到这些三段论的格本身。如果它们本身依然是无法看到的，那么我们如何能够看到它们的数呢？但是也许人们认为看到符号就足够了；符号的数与三段论的格的数是相等的。那么这是从哪里知道的呢？为此人们必须已经以其他方式真正确定了三段论的格的数。或者，“三段论的格的数是四”这个句子仅仅是“三段论的格的符号数是四”的另一种表达吗？不！假如符号的性质没有同样表现出符号表达之物的性质，就不会表达出任何有关符号的东西，谁也就别想知道有关符号的任何东西。由于相同的东西可以没有逻辑错误地以不同的符号表示，因此符号的数与符号表达之物的数甚至不必吻合。
§25.对密尔而言，数是某种物理的东西，而对洛克和莱布尼兹来说，数却只存在于观念之中。实际上，正像密尔 [8] 所说，两个苹果与三个苹果是物理上不同的，两匹马与一匹马是物理上不同的，它们是可看见的和可触摸的不同的现象。 [9] 但是由此能够推论出二性、三性是物理的东西吗？一双靴子可以是与两只靴子相同的可看见和可触摸的现象。这里我们有一种数的区别，没有物理的区别与它相对应；因为两只和一双绝不是相同的东西，正像密尔似乎有些古怪地相信的那样。那么最终如何能够对两个概念与三个概念作出物理上的区别呢？
贝克莱是这样说的 [10] ：“应该看到，数绝不是在事物本身实际存在的固定和确定的东西。当心灵考虑一个观念本身或一些观念的组合，而心灵想要为之命名，从而使之适合一个单位时，数完全是心灵的创造。随着心灵以不同方式组合其观念，单位发生变化。而且正像单位发生变化一样，仅仅是单位聚合的数也发生变化。一个窗户=1；一间有许多窗户的房屋=1；许多房屋构成一个城市。”
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[1] 康托尔：《基础算术的基本特征》（Grundzüge einer Elementararithmetik,S.2,§4.）。利普希兹也有类似看法，参见《数学分析教程》（Lehrbuch der Analysis,Bonn 1877.S.1）。
[2] 《算术和代数课本》（Lehrbuch der Arithmetik und Algebra,Leipz.1873,S.b,10u.11.）。
[3] 《演绎和归纳逻辑系统》，第3卷，第24章，§5。
[4] 《演绎和归纳逻辑系统》，第3卷，第24章，§5。
[5] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第1卷，第409页。
[6] 艾本达，第2卷，第2页。
[7] 同上书，第56页。
[8] 《演绎和归纳逻辑系统》，第3卷，第24章，§5。
[9] 更严格地说，还必须作如下补充：只要它们确实是一种现象。但是如果某人在德国有一匹马，在美国有一匹马（在其他地方没有马），那么他就有两匹马。然而这不构成现象，只有各匹马本身才能被称为现象。
[10] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第2卷，第428页。
数是主观的东西吗？
§26.在这种思维过程中，人们最终很容易把数看作某种主观的东西。数在我们心中形成的方式似乎能够说明数的本质。因此在这样的情况下，进行心理学研究是重要的。利普希兹 [11] 也许是在这种意义上说：
“谁想获得对某些事物的概观，谁就要从一个特定的事物开始，并且总是在前面的事物上添加一个新事物。”这似乎更适合于说明我们如何得到譬如对一个星座的直觉，却不太适合说明数的构造。企望获得概观，不是至关重要的；因为人们几乎不能说，如果人们得知一个畜群是由多少头牲畜组成的，这个畜群就更为明了清楚。
对作出一个关于数的判断之前发生的内在过程进行这样一种描述，即使再合适，也绝不能代替对概念的真正规定。这种描述绝不能被用来证明算术句子；我们从它无法了解数的任何性质。因为正像数譬如说不是北海一样，数也同样不是心理学对象或心理过程的结果。我们想从地球上总水面中划分出哪一部分并命名为“北海”，依赖于我们的任意抉择，并不妨碍北海的客观性。这绝不是要以心理学的方式研究这片海域的理由。同样，数也是某种客观的东西。如果人们说“北海有10000平方里大”，那么用“北海”和“10000”都不是意谓自己内心的一种状况或过程，而是断定某种与我们的表象之类的东西无关的完全客观的东西。如果我们譬如以后想对北海的水域作出某种不同的划分或把“10000”理解为某种不同的东西，那么前一次正确的那个内容也不会变成错误的；而是这样的情况：一个假内容也许悄悄取代了一个真内容，但是由此却绝不会消除真内容的真。
植物学家在说出一朵花的花瓣的数时，就像在说出它们的颜色时一样，都要说出一些事实。二者同样不依赖于我们的任意性。因此数和颜色之间有某种相似性；但是这种相似性并不在于可以通过感官在外界事物上感觉到它们，而在于二者都是客观的。
我把客观的东西与可触摸的东西、空间的东西或现实的东西区别开。地轴、太阳系的质心是客观的，但是我不想把它们像地球本身那样称为现实的。人们常常把赤道叫作一条想到的线，但是若把它叫作一条臆想的线就会是错误的；它不是通过思维而形成，即不是一种心灵过程的结果，而仅仅是通过思维被认识到，被把握的。如果被认识的过程是一种形成过程，那么关于赤道，我们在这种所谓的形成过程之前的任何时候都不会说出任何确切的东西。
根据康德的观点，空间属于现象。有可能，空间在其他理性动物面前表现得与在我们面前完全不同。确实，我们甚至不能知道，空间在此人面前与在彼人面前表现得是否一样；因为我们不能把此人的空间直觉与彼人的空间直觉摆放在一起加以比较。但是这里仍然含有某种客观的东西；所有人都承认相同的几何公理，尽管只有自己去做，而且若想认识世界，就必须自己去做。这里，客观的东西是合乎规律的东西，概念的东西，可判断的东西，能够用词语表达的东西。纯直觉的东西不是可传达的。为了说明这一点，让我们假定两个理性动物，对于他们，只有投射的性质和关系是可直观感受的：一条直线上有三个点，一个平面上有四个点，等等；可能对一方表现为平面的东西，另一方却直观感受为点，并且反之亦然。在一方看来是由几个点连成的线的东西，可能对另一方是几个平面相交的边，如此等等，而且总是这样双重对应的。在这种情况下，大概他们能很好地相互理解，却绝不会发现他们直观感受上的差异，因为在射影几何学中，每个定理都有另一个双重对立的定理；因为在审美鉴赏方面的分歧不会成为可靠的证据。关于所有几何学定理，他们也许会完全一致；只是他们将根据自己的直觉对这些词作出不同的翻译。譬如一方把这种直觉与“点”这个词联系起来，另一方把那种直觉与“点”这个词联系起来。因此人们总还能够说，这个词对于他们意谓某种客观的东西；只是不能把这种意谓理解为他们直觉的特殊的东西。而且在这种意义上地轴也是客观的。
在“白的”这个词，人们一般想到某种感觉，这当然是完全主观的；但是我觉得，日常的语言用法经常表现出一种客观的意义。当人们称雪为白的时，人们是要表达出一种客观性质，这种性质是人们在一般的日光下借助某种感觉认识到的。如果雪在有颜色的照明下，那么在判断时就要把这种情况考虑在内。人们也许会说：“现在它看上去是红的，但它是白的。”甚至色盲也可以谈论红的和绿的，尽管他在感觉上区别不出这些颜色。他认识到这种区别是因为别人作出这种区别，或者也许是通过一种物理实验。因此颜色词常常不表示我们的主观感觉，我们无法知道这种感觉与另一个人的感觉是一致的（因为很显然，相同的命名根本保证不了这种一致），相反，颜色词表示一种客观性质。因此我把客观性理解为一种不依赖于我们的感觉、直觉和表象，不依赖于从对先前感觉的记忆勾画内心图像的性质，而不是理解为一种不依赖于理性的性质。因为回答不依赖于理性的东西是什么这个问题，等于是不经判断而下判断，不弄湿皮大衣而洗皮大衣。
§27.因此我也不能同意施罗埃密尔西（Schloemilch）的观点 [12] ，他把数称为一个对象在一个系列中的位置的表象。 [13] 如果数是一种表象，算术就会是心理学。但是正像譬如天文学不是心理学一样，算术也不是心理学。正像天文学不研究行星的表象，而研究行星本身一样，算术的对象也不是表象。如果二是一个表象，那么它首先只会是我的表象。另一个人的二的表象已经是另一个不同的表象了。这样我们也许会有几百万个二。人们必须说：我的二，你的二，一个二，所有二。如果人们接受潜在的或无意识的表象，那么人们也会有无意识的二，而这些二以后又会变成有意识的。随着新人的成长，总会形成新的二，谁知道它们会不会用不了一千年就会发生变化，以致2×2=5呢？尽管如此，是否像人们通常认为的那样会有无穷多数，仍是令人怀疑的。也许1010只是一个空符号，在任何生物中根本就不会有可以这样命名的表象。
我们看到，进一步发挥数是表象这样一种想法会导致什么奇异的后果。而且我们达到以下结论：数既不像密尔的小石子堆和姜汁糕点那样是空间的和物理的，也不像表象那样是主观的，而是不可感觉的和客观的。客观性的基础绝不在作为我们心灵作用的完全主观的感觉印象之中。在我看来，客观性的基础只能在理性之中。
如果最严格的科学竟应该依据无把握的、尚在摸索中的心理学，这将是令人奇怪的。
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[1] 《数学分析教程》（Lehrbuch der Analysis,S.1）。我认为，利普希兹是指一种内在过程。
[2] 施罗埃密尔西：《代数分析手册》（Handbuch der algebraischen Analysis,S.1）。
[3] 人们也可提出反对意见说，如果这样，那么在出现同一个数时，必然总会表现出一个位置的同一个表象，这显然是错误的。如果他要把表象理解为一个客观观念，那么以下论述就会是不相关的；但是如果这样，位置表象和位置本身之间会有什么区别呢？
主观意义的表象是心理学联想规律与之有关的东西；它具有可感觉的、形象的性质。客观意义的表象属于逻辑，而且本质上是不可感觉的，尽管这个意谓一种客观表象的词也常常带有一种不是其意谓的主观表象。主观表象在不同的人常常可以得到不同的证明，而客观表象对所有人都是相同的。人们可以把客观表象分为对象和概念。为了避免混淆，我将只在主观意义上使用“表象”一词。由于康德把这两种意义与这个词结合在一起，他赋予他的学说一层非常主观的、唯心主义的色彩，使人们很难认识他的真正观点。这里作出的区别与心理学和逻辑之间的区别是同样有理由的。如果人们总是能够极其严格地把握它们之间的相互区别就好了！
作为集合的数
§28.一些著作家把数解释为集合，多或众多。这种解释方式的一种弊病在于从这个概念中排除了0和1这两个数。上述表达是很不确定的：有时它们更接近“堆”、“群”、“聚集”的意谓（这些词使人想到的是一种空间聚合），有时它们的用法几乎与“数”有相同的意谓，只是更不确定。因此在这样一种解释中无法得到对数这个概念的分析。为了构造数，托迈（Thomae） [14] 要求对不同的实物集合给予不同的命名。这显然意味着要更严格地规定那些其命名仅仅是外在符号的实物集合。现在的问题是，这种规定属于哪一类？如果人们想引入一些无法辨认其共同成分的名字来替代“3颗星”、“3根手指”、“7颗星”，那么显然不会形成数这个观念。重要的不在于终究给以命名，而在于自身表明数是什么。为此就必须根据数的独特性认识到数。
还应该注意下面的差异。一些人称数为事物或对象的集合；另一些人像欧几里得 [15] 那样，把数解释为一种单位集合。这种表达需要专门讨论。
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[1] 托迈：《分析函数基础理论》（Elementare Theorie der analytischen Funktionen,S.1）。
[2] 《几何基础》开篇：〔单位是这样的东西，借助它，各个存在的事物被称为一。数是由一些单位构成的多。〕