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每个个别的数都是一个独立的对象
§55.在我们认识到数的给出包含着对一个概念的陈述之后，我们可以尝试以0的定义和1的定义来补充莱布尼兹对个别数的定义。
人们很容易解释说：如果没有对象处于一个概念之下，那么0这个数就属于这个概念。但是这里似乎是具有相同意谓的“没有”替代了0；因此下面的说法更好一些：无论a是什么，如果a不处于一个概念之下这个句子是普遍有效的，那么0这个数就属于这个概念。
人们能够以类似的方式说：无论a是什么，如果a不处于一个概念之下这个句子不是普遍有效的，并且如果从
“a处于F之下”和“b处于F之下”
这两个句子普遍地得出a和b相同，那么1这个数就属于F这个概念。 现在还需要普遍地解释从一个数到后继数的过渡。我们试图作如下表述：如果存在一个对象a，它处于概念F之下并且具有这样的性质，使得n这个数属于“处于F之下，但不是a”这个概念，那么（n+1）这个数就属于F这个概念。
§56.根据我们至此得出的结果，这些解释显得极其随意，因而需要说明为什么它们不能令我们满意。
最后一个定义最容易引起怀疑，因为严格地说，在我们看来，“n这个数属于G这个概念”这个表达式的意义就像“（n+1）这个数属于F这个概念”这个表达式的意义一样是未知的。尽管我们能够借助这两个解释说明
“1+1这个数属于F这个概念”
意谓什么，然后我们利用这一点说明 “1+1+1这个数属于F这个概念”
这个表达式的意义，等等；但是我们绝不能————为了给出一个极端的例子————通过我们的定义来判定，凯撒大帝这个数是否属于一个概念，这位著名的高卢征服者是不是一个数。此外，借助我们尝试的解释我们不能证明，如果a这个数属于F这个概念，而且如果b这个数也属于这个概念，那么必然a=b。因此，“属于F这个概念的这个数”这个表达式不会被证明是正确的，由此也根本不能证明数的相等，因为我们根本不能把握一个确定的数。我们已经解释了0、1，这只是假象；实际上我们只确定了 “0这个数属于”
“1这个数属于”
这些谈论方式的意义；但是不允许在这里把0、1作为独立的、可重认的对象进行区别。 §57.现在应该更清楚地考虑“数的给出包含着对一个概念的表述”这个表达式的涵义。在“0这个数属于F这个概念”这个句子中，如果我们把F这个概念看作实实在在的主词，那么0只是谓词的一部分。因此我避免把像0、1、2这样的数叫作概念的性质。恰恰由于个别的数只构成表述的一部分，因而它们表现为独立的对象。我在上文已提请人们注意，人们说“1这个数”并由定冠词把1表达成对象。这种独立性在算术中比比皆是，例如在1+1=2这个算式中。在我们看来，这里重要的是应该像在科学中可以应用的那样把握数概念，因此，我们不应受到数在日常语言使用中也表现为定语这一现象的妨碍。这总是可以避免的。例如，人们可以把“木星有四颗卫星”这个句子转化为“木星的卫星数是四”。这里不能把“是”看作像“天是蓝的”这个句子中那样的纯粹连词。这是因为人们可以说：“木星的卫星数是四”或“是4这个数”。这里，“是”具有“是与……相等的”、“是与……同一的”的意义。因此我们有一个算式，它断定“木星的卫星数”这一表达式与“四”这个词表示相同的对象。而且这种等式形式是算术中的主要形式。“四”这个词不包含任何关于木星或卫星的东西，这一点与上面的观点并不相悖。甚至“哥伦布”这个名字中也没有任何关于发现或美洲的东西，尽管如此，这同一个人仍被叫作哥伦布和美洲的发现者。
§58.人们可能会反对说，我们根本不能像形成某种独立事物的表象一样形成关于我们称之为四或木星的卫星数这样的对象的表象。 [1] 但是这不应归咎于我们给予数的这种独立性。尽管人们很容易相信，在一个骰子的四点这一表象中出现某种与“四”这个词相应的东西；但这是一种假象。人们考虑一片绿色的草坪（eine grüne Wiese），并尝试用“一”（Ein）这个数词替代这个不定冠词，看表象是否发生变化。这并不增加任何东西，而表象中确实有某种与“绿色的”这个词相应的东西。当人们想象“Gold”（“金子”）这个印刷出来的词时，人们首先想到的并不是数。如果人们现在考虑这个词由几个字母组成，那么就产生4这个数；但是这个表象由此并没有变得更明确，而是可以完全没有变化。“‘Gold’（金子）这个词的字母”这个附加概念正是我们发现数的地方。在一个骰子的四点这种情况，问题有些隐蔽，因为这个概念通过点的相似性直接强加给我们，以致我们几乎注意不到它在这中间出现。数既不能被想象为独立的对象，也不能被想象为外在事物的性质，因为数既不是某种可感觉的东西，也不是外在事物的性质。也许在0这个数上问题最清楚。企图想象0个可见的星星，将是徒劳的。尽管人们可以考虑布满云层的天空，但是这里没有任何与“星星”这个词或0相应的东西。人们仅仅想象了一种事态，它能够引起下面这个判断：现在任何星星也看不见。
§59.也许每个词都能唤起我们的某一种表象，甚至像“仅仅”这样一个词也能唤起我们的某种表象；但是这种表象不必相应于这个词的内涵；它在别人那里可以是完全不同的。因此人们大概会想象这样一种事态，它要求一个含有这个词的句子；或者可能出现这样的情况，说出的词使人们记忆起写下的词。
这不仅发生在冠词的情况。我们没有关于我们与太阳距离的表象，大概是毫无疑问的。因为，即使我们知道必须把一把量尺复制多少次的规则，依据这一规则为我们勾画一副蓝图的任何努力依然是徒劳的，哪怕这蓝图只是有些接近我们企望的东西。但是，这并没有理由令人怀疑发现这一距离所依据的计算的正确性，也绝不会阻碍我们基于这一距离的存在作出进一步推论。
§60.甚至像地球这样一个十分具体的东西，我们也不能形成一种如同我们已经知道的实际那样的表象；相反，我们满足于一个大小适中的球体，我们把它看作是地球的标志；但是我们知道，这个球体与地球极不相同。这样，尽管常常根本不出现我们关于我们企望的东西的表象，可是我们仍然极其肯定地对一个像地球这样的对象作出判断，即使所考虑的是地球体积。
通过思维我们甚至常常超出可以形成表象的东西之外，而不因此失去我们推论的基础。对于我们人类来说，没有表象，思维似乎就是不可能的，即使如此，表象和被思考的东西的联系可以是完全表面的，任意的和习惯的。
因此，对一个词的内涵无法形成表象，并不是否定一个词的意谓或排除这个词的使用的理由。这种对立的现象大概是这样形成的：我们个别地考虑语词，询问它们的意谓，然后我们把一个表象看作它们的意谓。因此对于一个词我们内心若是没有一个相应的图像，这个词似乎就没有内涵。但是人们必须总是考虑完整的句子。实际上只有在完整的句子中词才有意谓。这时我们的头脑中可能出现的一些内在图像不必相应于判断中的逻辑成分。如果句子作为整体有一个意义，就足够了；这样句子的诸部分也就得到它们的内涵。
我觉得，这一认识有益于揭示许多困难的概念，譬如无穷小这个概念， [2] 它的影响可能不限于数学领域。
我要求的数的那种独立性不应该意谓数词脱离句子联系而表示某种东西。相反，我仅仅是要以此排除把数词用作谓词或定语，因为这样的用法会多少改变它的意谓。
§61.但是，人们也许会反对说，即使地球实际上是不可想象的，它依然是一个外在事物，有一个确定的位置；但是4这个数在哪里呢？它既不在我们之外，也不在我们之内。这在空间的意义上理解是正确的。确定4这个数的空间规定是没有意义的；但是由此只得出它不是一个空间对象，却得不出它根本就不是一个对象。并非每个对象都存在于某个地方。即使我们的表象 [3] 在这种意义上也不在我们的内在部分（皮下）。我们的内在部分是神经节细胞、血细胞等诸如此类之物，而不是表象。空间谓词不能应用于表象：一个表象既不在另一个表象的左边，也不在它的右边；表象相互之间没有可以用毫米标出的距离。如果尽管如此我们仍然要说表象在我们的内在部分，那么我们是想以此把它们表示成主观的东西。
但是即使主观的东西没有位置，可4这个客观的数怎么会不在任何地方呢？现在我要说，这里根本没有矛盾。对于每个和4这个数打交道的人来说，4实际都是完全一样的；但是这与空间性没有任何关系。并非每个客观的对象都有一个空间位置。
* * *
[1] 这是在某种形象的东西的意义上的表象。
[2] 这里的问题主要在于定义一个像
df（x）=g（x）dx
这样的方程式的意义，而不在于指明一个由两个不同点界定的长度为dx的线段。
[3] 这个词的理解纯粹是心理学的，而不是生理学的。
为了获得数这个概念，必须确定数相等的意义
§62.如果我们不能有关于数的表象或直觉，我们怎么才能得到一个数呢？语词只有在句子联系中才意谓某种东西。因此重要的是说明含有一个数词的句子的意义。暂时这仍然有很大的任意性。但是我们已经确定，应该把数词理解为独立的对象。以此我们得到一类必然有意义的句子，即表达出重认的句子。如果我们认为a这个符号应该表示一个对象，那么我们必须有一个记号；它使我们到处都可以判定，b是不是与a相同，即使我们并非总能应用这个记号。在目前的情况下，我们必须解释
“属于F这个概念的这个数，与属于G这个概念
的那个数相同”
这个句子的意义；就是说，我们必须以另一种方式复述这个句子的内容，同时不使用
“属于F这个概念的这个数”
这个表达式。以此我们给出一种表示数相等的普遍记号。在我们这样获得一种把握一个确定的数和重新认出它是相同的数的手段之后，我们就能够把一个数词给予这个数作为它的专名。
§63.休谟就已经提到这样一种手段： [4] “如果两个数以某种方式结合起来，使得一个数总有一个单位，这个单位相应于另一个数的每个单位，我们就说它们是相等的。”数的相等必须借助一一对应来定义，这种观点近年来似乎普遍为数学家们所接受。 [5] 但是这首先产生一些逻辑方面的疑问和困难，我们不能不加检验地放过这些疑问和困难。
相等关系不仅仅在数中出现。由此似乎得出，不应该把它解释为专属于数的情况。人们可能认为，相等这个概念先已确定，这样不需要再加上一个专门的定义，就能从相等和数概念必然得出：什么时候数是彼此相等的。
针对这一点应该注意，对我们来说，数这个概念尚不确定，只有经过我们的解释才能成为确定的。我们的目的是构造一种判断的内容，这种判断可以被看作这样一个等式，它的每一边都是一个数。因此我们不想专为这种情况解释相等，而想用已知的这个相等概念获得被看作是相等的东西。当然，看上去这是一种非常奇特的定义，大概还没有得到逻辑学家足够的重视；但是一些例子可以说明，这不是前所未闻的。
§ 64.“线a与线b平行”这个判断用符号表示：
a∥b，
可以被看作等式。如果我们这样做，我们就得到方向的概念，我们说：“线a的方向与线b的方向相等。”因此，我们把第一个判断的特殊的内容分派到a和b上，由此用“=”这个更普遍的符号取代了“∥”这个符号。我们以与原初方式不同的方式分解了内容，并且由此得到一个新概念。当然，人们对这个问题的看法常常与此相反，许多教师定义说：平行线是具有相同方向的线。在这种情况下，“如果两条直线与第三条直线平行，它们就相互平行”这个句子就能够诉诸类似表达的相等句子轻易得到证明。只可惜，这样做歪曲了事实真相！因为所有几何的东西最初必然是直观的。现在我问，某人是否有关于一条直线的方向的直觉。一定是关于直线的！但是在关于这条直线的直觉中还要区别出直线的方向吗？很难！只有通过一种紧接着直觉发生的心灵活动才会发现这个概念。另一方面，人们有关于平行线的表象。只有以一种不正当的方式，即通过使用“方向”这个词来假设欲证的东西，才能形成上述那种证明；因为如果“如果两条直线与第三条直线平行，它们就相互平行”这个句子是不正确的，就不能把a∥b转变为一个等式。 以这种方式从平面的平行可以得到一个与直线情况中方向的概念相应的概念。我见过用“位置”这个名字表示它。形状这个概念来自几何相似性，譬如，人们不说“这两个三角形是相似的”，而说：“这两个三角形具有相同形状”或“其中一个三角形的形状与另一个三角形的形状是相等的。”以这种方式人们也可以从几何图形的共线关系得到一个大概还没有名字的概念。
§65.现在，为了譬如从平行 [6] 达到方向这一概念，我们尝试下面的定义：
“线a与线b平行”
这个句子与 “线a的方向与线b的方向相等”的意谓相同。
这一解释偏离了人们习惯的情况，因为它表面上是确定了这种已知的相等关系，而实际上却是要引入“线a的方向”这个只是附带出现的表达。由此产生了第二种疑问，我们由于这样一条规定会不会与著名的同一律发生矛盾。哪些是同一律呢？作为分析的真命题，它们能够从概念本身产生出来。而莱布尼兹 [7] 是这样定义的：
“Eedem sunt，quorum unum potest substitui alteri salva veritate”.（“能够用一个事物替代另一个事物而不改变真，这样的事物就是相同的”。）
我借用这一解释表示相等。人们是否像莱布尼兹那样说“相同的”或说“相等的”，这无关紧要。尽管“相同的”似乎表达一种完全的一致，而“相等的”只表达在这方面或那方面的一致；但是人们可以采取一种消除这种区别的谈论方式，例如，人们不说“这些线段在长度上相等”，而说“这些线段的长度是相等的”或“相同的”，不说“这些平面在颜色上相等”，而说“这些平面的颜色是相等的”。而且我们在上面那些例子中就是这样使用这个词的。现在，在普遍可替代性中实际上包含着所有同一律。 为了证明我们尝试的直线方向的定义是正确的，我们就必须表明，如果直线a与直线b是平行的，就能够处处以
b的方向
替代 a的方向。
这可以简化，因为关于一条直线的方向，人们最初只知道这样一个命题：它与另一条直线的方向一致。因此我们只需要在这样一种相等的情况下，或在将会含有这样的相等作为构成因素 [8] 的内容的情况下证明可替代性。关于方向的所有其他命题都必须首先得到解释，而且对于这些定义我们可以规定：必须保证可以用一条直线的平行线的方向替代这条直线的方向。 §66.但是，针对我们尝试的定义还产生第三种疑问。在
“a的这个方向与b的这个方向相同”
这个句子中，a的方向作为对象 [9] 出现：而且我们以我们的定义获得重认这一对象的一种手段，譬如当它可能以另一种面貌作为b的方向出现的时候。但是对于所有情况来说，这种手段还不够用。例如，人们根据它不能判定英国与地轴的方向是不是相同的。请原谅用这个看上去荒唐的例子！当然不会有人把英国与地轴的方向混淆起来；但这不是我们解释的功劳。这丝毫也不说明，如果没有以“b的这个方向”这种形式给定q本身，那么应该肯定还是否定 “a的这个方向与q相等”
这个句子。我们缺少方向这个概念；因为如果我们有这个概念，我们就能够规定：如果q不是方向，就应该否定这个句子；如果q是一个方向，那么前面的解释就要作出判定。这使人们很容易解释说： 如果存在一条直线b，它的方向是q，那么q就是一个方向。
但是现在很清楚，我们在兜圈子。为了能够应用这种解释，我们必须在任何情况下已经知道，应该肯定还是应该否定 “q与b的这个方向相等”
这个句子。 §67.如果人们要说：如果q是通过上述定义引入的，q就是一个方向，那么人们就会把引入q这个对象的方式作为它的性质来看待，而这种方式却不是它的性质。一个对象的这样一个定义实际上没有对这个对象作出任何说明，而是规定了一个符号的意谓，在做到这一点之后，定义转变为一个关于这个对象的判断，但是现在判断再也不引入这个对象，而且与关于它的其他命题处于相等的位置。如果人们选择这种出路，人们就会假定，只能以一种唯一的方式给定一个对象；因为若不这样，从q不是通过我们的定义引入的就得不出：不能以这种方式引入它。这样，所有算式就会产生这样的结果：以同一种方式给予我们的东西会被看作相同的。但这是十分自明的和毫无结果的，因而是不足道的。实际上人们由此得不出任何有别于各个前提的结论。算式可以有多方面的十分重要的应用，这主要是因为人们能够重认某种东西，尽管它们是以不同方式给出的。
§68.由于我们以这样的方式无法得到明确限定的方向概念，并且由于相同的原因无法得到这样的数概念，因而我们尝试另一种方法。如果a这条线与b这条线相等，那么“与a这条线平行的线”这个概念的外延就与“与b这条线平行的线”这个概念的外延相等；反之，如果所述这两个概念的外延相等，那么a与b平行。因而让我们尝试着解释如下：
a这条线的这个方向是“与a这条线平行”这个概念的外延；
d这个三角形的这种形状是“与d这个三角形相似”这个概念的外延！
如果我们想把这应用到我们说的情况，我们就必须以概念替代线或三角形，并且以处于一个概念之下的对象与处于另一个概念之下的对象之间一一对应的可能性替代平行或相似性。如果存在这种可能性，那么为了简便，我将称F这个概念与G这个概念是等数的（gleichzahlig），但是我必须要求人们把这个词看作一个任意选择的标记方式，不应该从语言构成、而应从这种规定中得出它的意谓。
因此我定义如下：
适合F这个概念的数是“与F这个概念等数的”这个概念的外延。 [10]
§69.这种解释是合适的，最初也许不太明显。难道人们在一个概念的外延下不会想到某种不同的东西吗？从最初关于概念外延可以形成的命题可以说明人们在这里想到的是什么。这些命题如下：
1.相等，
2.一个比另一个更宽泛。
现在，
“与F这个概念等数的”这个概念的外延与“与G这个概念等数的”这个概念的外延相等
这个句子是真的，当且仅当： “同一个数既属于F这个概念，又属于G这个概念”
这个句子也是真的。因而这里是完全一致的。 尽管人们不在一个概念的外延比另一个概念的外延更宽的意义上说一个数比另一个数更宽，但是也绝不会出现
“与F这个概念等数的”这个概念的外延
比 “与G这个概念等数的”这个概念的外延
更宽的情况；相反，如果所有与G这个概念等数的概念也是与F这个概念等数的，那么反之，所有与F这个概念等数的概念也是与G这个概念等数的。这种“更宽的”，自然不能与在数的情况出现的“大于”混淆起来。 当然以下这种情况也是可以想象的：“与F这个概念等数的”这个概念的外延比另一个概念的外延更宽或更窄，这样，根据我们的解释，后一个概念的外延就不能是数；而且人们很少说一个数比一个概念的外延更宽或更窄；但是如果真出现这样的情况，对采纳这样一种谈论方式也不会有任何妨碍。
* * *
[1] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第2卷，第565页。
[2] 参见施罗德，《算术和代数课本》，第7、8页。科萨克：《算术基础》（Die Elemente der Arithmetik,Programm des Friedrichs-Werder'schen Gymnasiums,Berlin,1872,S.16）。康托尔：《一种普遍多样性学说的基础》（Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre,Leipzig,1883,S.3）。
[3] 为了使我的表达能够更方便，更容易得到理解，我在这里谈论平行。这一讨论中至关重要的东西将可以很容易地回到数相等的情况。
[4] Nou inelegans specimen demonstrandi in abstractis（Erdm.S.94）。
[5] 例如，在一个假言判断中，方向的相等可以作为条件或结果出现。
[6] 定冠词表明这一点。在我看来，概念是一个单称可判断内容的可能的谓词，对象是这种内容的可能的主词。如果我们把
“望远镜轴的方向与地轴的方向相等”
这个句子中望远镜轴的方向看作主词，那么谓词就是“与地轴的方向相等”。这是一个概念。但是地轴的方向只是这个谓词的一部分；它是一个对象，因为它也可以成为主词。
[7] 我相信，可以简单地用“概念”来表示“概念的外延”。但是人们会提出两点反对意见：
1.这与我前面的断定————个别的数是对象————相矛盾，因为像“二这个数”这样的表达式中有定冠词；不可能以复数的形式谈论一、二等等，还有数只构成给出数时谓词的一部分。
2.概念可以有相同的外延，而不重合。
尽管我现在认为，可以提出这两种反对意见，但是这可能引导我们远离主题，我假定，人们知道一个概念的外延是什么。
对我们这个定义的补充和证明
§70.定义由于富有成果而被证明是有效的。一些定义可以被完全省略，同时不给证明过程造成任何缺陷，应该把这样的定义作为完全无价值的予以抛弃。
因此让我们尝试一下，从我们对属于F这个概念的数的解释是不是能够推出数的已知性质。这里我们将满足于最简单的性质。
为此还必须更确切地把握等数性。前面我们借助相互一一对应解释它，现在应该说明我想如何理解这个表达，因为人们从中可能很容易猜测某种直观的东西。
让我们考虑下面的例子。如果一个饭店服务员想确信他在桌子上摆放的餐刀恰好与盘子一样多，那么他既不必数餐刀，也不必数盘子，他只要在每一个盘子的右边摆放一把餐刀，使得桌子上每一把餐刀都在一个盘子的右边。这样，盘子和餐刀就是相互一一对应的，而且这是通过相同的位置关系。如果我们在
“a放在A的右边”
这个句子中，考虑用不同的对象代入a和A，那么这里保持不变的内容部分就构成这种关系的本质。让我们概括和推广这一点。 当我们从涉及一个对象a和一个对象b的可判断内容把a和b分离出来时，我们就剩下一个关系概念，因而它需要以双重方式补充。如果我们在
“地球比月亮大”
这个句子中分离出“地球”，我们就得到“比月亮大”这个概念。反之，如果我们分离出“月亮”这个概念，我们就获得“小于地球的”这个概念。如果我们同时把“地球”和“月亮”都分离出去，则还剩下关系概念，这个概念本身就像一个简单概念那样没有意义：它总是需要得到补充才能成为可判断的内容。但是可以用不同的方式进行补充：例如，我可以不代入地球和月亮，而代入太阳和地球，而且由此同样产生出这种分离。 每对个别对应的对象————人们可以说成是主词————与关系概念之间的关系，类似于个别对象与它处于其下的那个概念之间的关系。这里主词是复合构成的。有时候，当关系是可逆的，这在语言上也表达出来，譬如在下面这个句子：“帕鲁斯和泰蒂丝是阿齐利斯的父母。” [11] 有些情况与此相反。例如，不大可能以这样的方式重新表述“地球比月亮大”这个句子的内容，使“地球和月亮”表现为复合构成的主词，因为“和”这个词总是指示某种相等位置。但是这不影响实质问题。
因此，关系概念同简单概念一样，属于纯逻辑。这里考虑的不是关系的特殊内容，而仅谈逻辑形式。而且关于这种逻辑形式可以谈论的是：它的真是分析的，并被看作先验的。这适合于其他概念，同样适合于关系概念。
正像
“a处于F这个概念之下”
是一个涉及一个对象a的可判断内容的普遍形式一样，也可以把 “a与b有φ关系”
看作一个涉及对象a和涉及对象b的可判断内容的普遍形式。 §71.如果现在每个处于F这个概念之下的对象都与一个处于G这个概念之下的对象有φ这种关系，而且如果一个处于F之下的对象与处于G这个概念之下的每个对象有φ关系，那么处于F和G下的对象就通过φ关系相互对应起来。
人们还可以问，如果F这个概念之下根本没有对象，那么
“每个处于F之下的对象都与一个处于G之下的对象有φ这种关系”
这个表达意谓什么。我把它理解为：无论a表示什么， “a处于F之下”
和 “a与处于G之下的任何对象都没有φ这种关系”
这两个句子不能并存，因而要么前一个句子是假的，要么后一个句子是假的，要么两个句子都是假的。由此可知，如果不存在处于F之下的对象，那么“每个处于F之下的对象与一个处于G之下的对象都有φ这种关系”，因为在这种条件下，无论a可能是什么，总能够否定第一个句子 “a处于F之下”。
同样， “一个处于F之下的对象与每个处于G之下的对象有φ这种关系”
这个句子意谓：无论a可能是什么， “a处于G之下”
和 “任何处于F之下的对象都与a没有φ这种关系”
不能并存。 §72.现在我们已经看到，处于F和G这两个概念之下的对象什么时候通过φ这种关系相互对应。但是在我们这里，这种对应应该是相互一一对应。我的理解是，这说明下面两个句子郁是有效的：
1.如果d与a有φ这种关系，并且如果d与e有φ这种关系，那么一般来说，无论d、a和e可能是什么，a与e相同。
2.如果d与a有φ这种关系，并且如果b与a有φ这种关系，那么一般来说，无论d、b和a可能是什么，d与b相同。
以此我们把相互一一对应的关系化归为纯逻辑关系。现在我们可以如下定义：
“F这个概念与G这个概念是等数的”
这个表达与 “存在一种关系φ，它使处于F这个概念之下的对象与处于G之下的对象相互一一对应”
这个表达具有相同的意谓。 我重复说一遍：
属于F这个概念的数是“与F这个概念等数的”这个概念的外延，
我还要补充说： “n是一个数”
这个表达与 “存在一个这样的概念，n是属于它的这个数”
这个表达具有相同的意谓。 以这种方式数这个概念得到解释，当然表面上是通过它自身得到解释的，但是实际上却没有错误，因为“属于F这个概念的这个数”已经得到解释。
§73.现在我们想首先说明，如果F这个概念是与G这个概念等数的，那么属于F这个概念的数就与属于G这个概念的数相等。当然，听上去这像是同语反复，但实际上不是，因为“等数的”这个词的意谓不是从这种复合构成得出的，而是从上面给定的解释得出的。
根据我们的定义应该表明，如果F这个概念与G这个概念是等数的，那么“与F这个概念等数的”这个概念的外延与“与G这个概念等数的”这个概念的外延相同。换句话说，必须证明，在这一前提下，
如果H这个概念是与F这个概念等数的，那么它与G这个概念也是等数的
和 如果H这个概念是与G这个概念等数的，那么它与F这个概念也是等数的
这两个句子是普遍有效的。第一个句子的结果是：如果存在一个关系φ，它使处于F这个概念之下的对象与处于G这个概念之下的对象相互一一对应，而且如果存在一个关系ψ，它使处于H这个概念之下的对象与处于F这个概念之下的对象相互一一对应，那么就存在一种关系，它使处于H这个概念之下的对象与处于G这个概念之下的对象相互一一对应。下面的字母排列将更清楚地表明这一点： HψFψG。
实际上可以给出这样一种关系：它在下面这个句子的内容中
“存在一个对象，c与它有ψ这种关系，而它与b有φ这种关系”，
如果我们从中把c和b分离出来（看作关系点）。人们可以表明，这种关系是一种相互一一对应的关系，而且它使处于H这个概念之下的对象与处于G这个概念之下的对象相对应。 以类似的方式也可以证明另一个句子。 [12] 但愿这些说明能够足以使人们认识到，这里我们不必以直觉作任何证明的依据，而且，我们的定义可以有一些用处。
§74.现在我们可以过渡到对个别的数的解释。
由于在“与自身不相等”这个概念之下没有任何东西，因此我解释说：
0是适合“与自身不相等”这个概念的这个数。
也许人们会提出异议，认为我在这里是谈论一个概念。也许人们会提出反对意见，认为这里包含一个矛盾，而且人们还会想起木质的铁和方形的圆这些老生常谈。我却认为，这些老生常谈根本没有人们说的那么糟糕。尽管它们不会直接有用处，但是它们也不会造成任何危害，只是不要假设一些东西处于它们之下；而且人们还没有由于仅仅使用这些概念就作出这样的假定。一个概念含有矛盾，这并非总是显而易见得不需要进行任何研究；为了进行研究，人们必须首先有这个概念，并且像对其他概念那样对它进行逻辑探讨。从逻辑的观点出发，而且为了证明过程的严格性，人们能够对一个概念提出的全部要求就是它要有鲜明的界限，使得对每个对象来说，它是否处于这个概念之下，都是确定的。而像“与自身不相等”这样包含矛盾的概念却完全满足这种要求。因为人们知道，任何对象都不处于这样一个概念之下。 [13]
我是这样使用“概念”一词的：
“a处于F这个概念之下”
是一种可判断的内容的普遍形式，这个内容涉及一个对象a，并且无论用什么替代a，这个内容依然是可判断的。而在这种意义下， “a处于‘与自身不相等’这个概念之下”
与 “a与自身不相等”
或 “a不等于a”
是有相同意谓的。 我本可以用没有东西处于其下的别的任何概念来定义0，但是对我来说，重要的是选择这样一个概念，关于它能够用纯逻辑方法证明这一点；而“与自身不相等”这个概念最适合这一目的，这里，我赞同前面引用的莱布尼兹对“相等的”的纯逻辑的解释。
§75.现在，必须能够借助前面的规定证明，每一个没有东西处于其下的概念与其他每一个没有东西处于其下的概念是等数的，并且仅与这样一个概念是等数的，由此得出，0是属于这样一个概念的数，而且如果属于一个概念的数是0，那么就没有对象处于这个概念之下。
如果我们假定，一个对象既不处于F这个概念之下，也不处于G这个概念之下，那么为了证明等数性，我们必须有一种关系φ，对这种关系φ来说，下面的句子是有效的：
每个处于F之下的对象与一个处于G之下的对象有φ这种关系；一个处于F之下的对象与每个处于G之下的对象有φ这种关系。
根据前面关于这些表达式的意谓的论述可以看出，根据我们这些假定，每个关系都满足这些条件，因而相等也满足这些条件，此外相等还是相互一一对应的；因为它对于上面为此提出的两个要求都是有效的。
相反，如果一个对象，譬如a，处于G之下，而没有任何对象处于F之下，那么
“a处于G之下”
和 “任何处于F之下的对象与a都没有φ这种关系”
这两个句子对各个φ关系共同成立；因为第一个句子依据第一个假定是正确的，第二个句子根据第二个假定是正确的。就是说，如果不存在任何处于F之下的对象，那么也就没有任何与a有任何关系的对象。因而就没有下面的关系，根据我们的解释，这种关系使处于F之下的对象与处于G之下的对象相对应，因此F这个概念和G这个概念不是等数的。 §76.现在我要解释自然数序列中每两个相邻项的相互关系。假定
“存在一个概念F和处于它之下的这样一个对象x，使得属于F这个概念的数是n，而属于‘处于F之下但不等于x’这个概念的数是m”
这个句子与 “n在自然数序列中紧跟m”
这个句子具有相同的意谓。 我避免用“n是跟在m后面的这个数”这个表达，因为为了证明这个定冠词的合理性，必须先证明两个句子。 [14] 出于同样的原因，我在这里尚不说“n=m+1”；因为通过等号，（m+1）也被表示成为对象。
§77.现在，为了达到1这个数，我们必须首先表明，存在某种东西，它在自然数序列中紧跟着0。
让我们考虑下面这个概念————或者，如果人们愿意的话，让我们考虑下面这个谓词————“与0相等”。0处于这个概念之下。却没有对象处于“与0相等但不与0相等”这个概念之下，因而0是属于这个概念的数。据此我们就有一个概念“与0相等”和一个处于它之下的对象0，对于它们来说，下面的句子是有效的：
属于“与0相等”这个概念的这个数与属于“与0相等”这个概念的这个数相等；
属于“与0相等但不与0相等”这个概念的这个数是0。
因此根据我们的解释，属于“与0相等”这个概念的这个数在自然数序列中紧跟0。
如果我们现在定义：
1是属于“与0相等”这个概念的这个数，
那么我们可以把上一句话表达为： 1在自然数序列中紧跟0。
为了1的客观合理性，对1的定义不假定任何观察的事实， [15] 说明这一点也许不是多余的；因为人们很容易混淆下面的情况：为了使我们可以做出这个定义，必须满足一定的主观条件；一些感觉经验促使我们作出这个定义。 [16] 感觉经验毕竟可以是合乎实际的，同时推出的句子又不会不再是先验的。例如，这些条件也包含以下的情况：大量优质血液流经大脑————至少据我们所知是这样；但是我们上一个句子的真却不依赖于这种情况；即使不再发生这样的情况，它依然存在；而且即使有一天所有理性动物会同时进入冬眠，这个句子的真也不会随之中断，而是完全不受影响。一个句子的真恰恰不是这个句子的被思考的东西。
§78.这里我可以得出几个能够借助我们的定义证明的句子。读者将很容易看到如何进行证明。
1.如果a在自然数序列中紧跟0，那么a=1。
2.如果1是属于一个概念的这个数，那么存在一个对象，它处于这个概念之下。
3.如果1是属于一个概念F的这个数；如果x这个对象处于F这个概念之下，并且如果y处于F这个概念之下，那么x=y；即x是与y相同的。
4.如果一个对象处于一个概念F之下，并且，如果从x处于F这个概念之下并且y处于F这个概念之下可以普遍地推出x=y,那么1就是属于F这个概念的这个数。
5.通过
“n在自然数序列中紧跟m”
这个句子确定的m与n的这种关系，是一种相互一一对应的关系。
在此还没有说，对每个数都存在另一个数，它在数序列中紧跟前者或者前者在数序列中紧跟它。
6.除0以外，每个数在自然数序列中都紧跟一个数。
§79.为了能够证明，对自然数系列的每一个数（n）都有一个数紧跟，人们必须指出一个这后一个数所属于的概念。我们选择
“属于以n结束的自然数序列的项”
作为这个概念，首先必须对此进行解释。 首先，我以一种稍有不同的方式重复我在《概念文字》中所综合的关于一系列推论的定义。
“如果x与之有φ关系的每个对象处于F这个概念之下，而且如果由d处于F这个概念之下普遍地得出，无论d是什么，d与之有φ关系的每个对象都处于F这个概念之下，那么y就处于F这个概念之下，无论F可能表示什么概念”
这个句子与 “y在这个φ序列中跟着x”
和 “x在这个φ序列中在y之前”
是意谓相同的。 §80.对此做几点评述将不是多余的。由于φ这种关系可以是不确定的，因此不能以空间和时间对应的形式来考虑这种序列，尽管不排除这些情况。
人们也许会以为另一种解释更自然一些，例如：如果从x出发，把注意力总是从一个对象转移到它与之有φ关系的另一个对象上，而且如果以这种方式最终能够达到y，那就可以说，y在这个φ序列中跟着x。
这是研究这个问题的一种方式，而不是定义。我们在注意力游移时是否达到y，可能取决于主观上各种各样的附加情况，例如取决于供我们支配的时间，或取决于我们对事物的认识。y是否在这个φ序列中跟着x，一般来说与我们的注意力和转移注意力的条件没有任何关系，这是某种事实的东西，就像一片绿叶反映出某种光线，无论它现在是不是被我看见并唤起我的感觉，就像一粒盐在水里是可溶的一样，无论我是不是把它扔到水里并观察这个溶解过程，即使我根本不可能进行这样的尝试，它仍然是可溶的。
通过我的解释，这个问题从主观可能性的领域提高到客观确定性的领域。实际上，从一定的句子得出另一个句子，这是客观的东西，是不依赖于我们的注意力的活动规律的东西，我们得不得出这个结论都无所谓。这里我们有一个标志，凡是在可以提出这个问题的地方，都可以普遍地判定它，即使在个别的情况下，外在的困难阻碍我们不能判定这情况是否合适时，也是如此。对于问题本身，这是无关紧要的。
我们不必总是从头到尾审查从开始项到一个对象之间的所有中间项，以便确定这个对象跟着那个项。例如，如果看到在这个φ序列中b跟着a，c跟着b，就可以根据我们的解释推论，c跟着a，甚至不必知道其中间项。
仅通过对一个序列中后继的这种定义，就可以把n到（n+1 ）这种表面上是数学固有的推理方式化归为普遍的逻辑规律。
§81.如果我们现在有这样一种关系作关系φ，即通过
“n在自然数序列中紧跟m”
这个句子建立起m到n的关系，我们就不说“φ序列”，而说“自然数序列”。 我进一步定义：
“y在这个φ序列中跟着x或者y与x相同”
这个句子与 “y隶属以x开始的这个φ序列”
这个句子和 “x隶属以y结束的这个φ序列”
这个句子是意谓相同的。 因此，a隶属以n结束的自然数序列，如果n要么在这个自然数序列中跟着a，要么n与a相等。 [17]
§82.现在应该表明，（在尚需要得到说明的条件下）属于
“隶属以n结束的自然数序列”
这个概念的这个数，在这个自然数序列中紧跟n。因此在这种情况下就证明，存在一个在自然数序列中紧跟着n的数；这个序列没有最后一个项。这个句子显然是无法用经验方法或归纳法建立起来的。 在这里若是给出这个证明本身，就会离题太远。可以仅仅简要提示一下证明过程。应该证明
1.如果a在自然数序列中紧跟d，而且如果对于d而言，属于
“隶属以d结束的这个自然数序列”
这个概念的这个数在这个自然数序列中紧跟d，这是有效的，那么对于a而言，属于
“隶属以a结束的这个自然数序列”
这个概念的这个数，在这个自然数序列中紧跟a，这也是有效的。
其次，应该证明，在刚才论述d和a的句子中所陈述的东西，对于0是有效的，然后应该得出，这对于n也是有效的。如果n属于以0开始的这个自然数序列。当必须把关于d和关于a，关于0和关于n的那个共同陈述当作概念F时，这种推论方式就是我关于
“y在这个自然数序列中跟着x”
这个表达式所给出的定义的应用。 §83.为了证明上一节1这个句子，我们必须表明，a是属于“隶属以a结束的这个自然数序列但不等于a”这个概念的数。而为了表明这一点，又必须证明，这个概念与“隶属以d结束的这个自然数序列”这个概念的外延相等。为此，人们需要下面这个句子：任何隶属以0开始的这个自然数序列的对象在这个自然数序列中都不能跟着自己。这一点也必须借助我们关于一个序列的后继的定义证明。 [18]
由此我们不得不为属于
“隶属以n结束的自然数序列”
这个概念的这个数在这个自然数序列中也紧跟着n的这个句子补充一个条件，即n隶属以0开始的自然数序列。为此通常用一种更简略的表达方式，我把这种方式解释为： “n属于以0开始的自然数序列”
这个句子与 “n是一个有穷数”
这个句子是意谓相同的。 于是我们可以把最后这个句子表达如下：在自然数序列中任何有穷数都不跟着自己。
* * *
[1] 这里不应该与下面的情况相混淆，即“和”只是表面上联结主词，实际上却联结两个句子。
[2] 反过来也是如此：如果属于F这个概念的这个数与属于G这个概念的这个数相同，那么F这个概念与G这个概念就是等数的。
[3] 由一个概念对处于其下的对象进行定义，则与上述情况完全不同。例如，“这个最大的真分数”这个表达没有内容，因为定冠词要求指向一个确定的对象。而“小于1并且任何小于1的分数在数量上都不超过它的分数”这个概念却是毫无问题的，而且为了能够证明没有这样的分数，人们甚至需要这个概念，尽管它含有一个矛盾。但是如果人们想通过这个概念确定一个处于它之下的对象，那么无论如何都必须先说明两点：
1.一个对象处于这个概念之下；
2.只有一个唯一的对象处于这个概念之下。
由于这其中的第一个句子已经是假的，因而“这个最大的真分数”这个概念是无意义的。
[4] 参看注释。
[5] 没有普遍性的句子。
[6] 参见埃德曼：《几何学公理》（Die Axiome der Geometrie,S.164）。
[7] 如果n不是数，那么只有n本身隶属以n结束的自然数序列。但愿人们不会对这种表达不满。
[8] 施罗德（《算术和代数课本》，第63页）似乎把这个句子看作是另一种可想象的标记方式的结果。这里人们也可以注意到那种影响到他对该问题的整个描述的弊病，即人们不大知道，数是不是一个符号，而且如果它是一个符号，那么什么是这个符号的意谓，或者这个数是否正是这个符号的意谓。人们规定不同的符号，因而同一个符号绝不反复出现。由此尚得不出，这些符号也意谓不同的东西。
无穷数
§84.与有穷数相对的是无穷数。属于“有穷数”这个概念的那个数是一个无穷数。譬如，让我们用∞1来表示它。如果它是一个有穷数，在自然数序列中它就不能跟着自己。但是我们可能表明，∞1跟着自己。
在以这种方式解释的无穷数∞1中，不存在任何神秘或奇异的东西。“属于F这个概念的这个数是∞1”不多不少恰恰是说：有一种关系，它使处于F这个概念之下的对象与有穷数相互一一对应。根据我们的解释，这是一种完全清楚的和没有歧义的意义；而且这足以证明使用∞1这个符号的合理性并且保证它有一个意谓。我们无法形成一个关于无穷数的表象，这是完全不重要的，对于有穷数同样是这样。因此∞1这个数有某种与任何一个有穷数同样确定的东西：毫无疑问可以把它作为相同的东西予以重认，并且可以把它与其他东西区别开来。
§85.不久以前，康托尔在一篇出色的论文 [19] 中引入了无穷数。我完全同意他对只能把有穷数看作是现实的这种观点的评价。有穷数不是感官可感觉的和空间的，分数、负数、无理数和复数也不是；而且，如果人们把对感官起作用的东西或者至少对感官知觉有影响从而产生或远或近结果的东西叫作现实的，那么这些数当然都不是现实的。但是，我们甚至根本不需要这些感觉作为我们定理的证明根据。我们在研究中可以大胆地使用逻辑上没有任何异议地引入的名称或符号，因而我们的∞1这个数就像二或三一样是合理的。
我在这里（正像我相信的那样）与康托尔是一致的，但是我使用术语与他有所不同。他把我的数叫做“幂”（Mächtigkeit），而他关于数的概念 [20] 却涉及对应。对于有穷数来说，当然有一种不依赖于序列的性质，而对于无穷大的数来说就不是如此。现在，“数”这个词和“多少？”这个问题的语言用法不包含对确定对应的提示。康托尔的数其实是回答这样一个问题：“在一个顺序中第多少个项是最后一个项？”因此我觉得我的术语更符合语言用法。如果人们扩展一个语词的意谓，人们就必须要注意，尽可能多的普遍句子获得其有效性，而且有时是非常基础性的作用，就像数的那种独立于序列的性质一样。我们根本不必进行任何扩展，因为我们关于数概念也直接包括无穷数。
§86.康托尔为了得到无穷数，引入了“一个顺序中的后继”这个关系概念，这个概念与我的“一个序列中的后继”这个概念不同。例如，根据他的观点，如果把有穷的正整数进行排列，使得奇数在其自然数序列中一个跟着另一个，而且偶数也是一个跟着另一个，并且还要规定，每一个偶数要跟着每个奇数，那么就会形成一个顺序。在这个顺序中，例如，0会跟在13后面。但是任何数都不会直接出现在0前面。这正是一种在我定义的序列的后继中不能出现的情况。人们可以不利用直觉公理而严格证明，如果y在φ序列中跟着x，那么就存在一个对象，它在这个序列中直接出现在y前面。我觉得现在依然缺少对顺序中的后继和康托尔的数的精确定义。这样康托尔求助某种神秘的“内在直觉”，而这里本来应该努力并且也许可以从定义出发进行证明。因为我相信可以预见那些概念是如何能够得到确定的。无论如何，我并不想通过这些评述对它们的合理性和富有成果性提出任何批评。相反，我赞同在这种研究中对于科学的扩展，尤其是因为通过这种扩展，开辟了一条通往更高的无穷大数（幂）的纯算术的道路。
* * *
[1] 《一种普遍多样性学说的基础》（Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkaitslehre,Leipzig,1883）。
[2] 看上去，这个表达可能与前面提出的概念的客观性相矛盾；但是在这里只有称谓是主观的。